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僕は、重力に新しい数学表現を与え、非常にうまく行く、重力理論を作ることができた。
勝手ながら、それをここに紹介させてもらいます。
時空理論の紹介（新しい重力理論）
１）
時空理論は、物理学というより、むしろ数学である。
一般的に正しいと認められる事項を公理とし、そこから演繹的に結果を導く、
いわば、数学の定理である。
（テンソルによって表現されている）
２)
時空理論では、
「ベクトルポテンシャルA_iは、実は重力ベクトルである」
この意味は....
時空理論では、重力の数学的表現として、
’局所慣性座標（各点慣性座標）’という小さな４次元座標を、各点に与える。
これを、重力の定義とする。
これは、数学でいう「接続」の１種と見なせるが、
理論を先へ進めると、この接続係数の中に、ベクトルポテンシャルA_iが入ってくる。
さらに先へ進めると、A_iはニュートンの重力ベクトルのように振舞うのが、わかってくる。
３）さて、
時空理論では、時空を４次元と考え、最初に２つの基本要素を与える。
ひとつは、局所慣性系を数学化した’各点慣性座標’、
もうひとつは、物理学に必要不可欠な’光錐面’（光円錐とも言う） G_ij である。
これらを用いて、まず光路を定義する。
「各点慣性座標上で直線であり、かつ、光錐面上に乗る、曲線を光路と定義する。」
この光路が存在できるためには、
各点慣性座標と光錐面の２つを、まったく独立に与えてはだめで、
両者の間に、ある関係が必要になる。
この関係を求めると、そこに、ひとつのベクトル A_i が出現する。
（あるベクトルA_i が必要になる）
さて、光錐面 G_ij には、実は自由度があり、任意のスカラーλ を乗じて、
λG_ij としても、光錐面としての機能は変わらない。
この新たな λG_ij に対応するベクトル A_i を計算してみると、何と、
A_i + ∂_i log λ /2 となる。
これは、よく知られたゲージ変換である。
このことから、A_i は電磁気のベクトルポテンシャルだろうと、推論できる。
これによって、重力の定義から電磁気が出た。
４）
純粋数学から物理法則が導けたなら、それこそ、本当の真理と思えるだろう。
なぜなら、数学こそ、もっとも信頼できる学問だからだ。
時空理論では、それに近いことをやる。
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さて、光路と共に、質点の自由落下路も定義する。
「各点慣性座標上で直線になる曲線を、質点の自由落下路と定義する。」
光路は、質点の自由落下路の、特別な場合である。
この定義からわかるように、質点の自由落下路は、その質量に無関係である。
質点の自由落下路の定義からは、その方程式が導かれるが、
それを元に、固有時の概念を導出できる。
どうやるかと言うと、
解のひとつを x^i(τ) としよう。
この方程式は、質点の自由落下路の形状を決めるだけでなく、そのパラメータτをも制限する。
（任意のパラメータが、解のパラメータになれるわけではない。）
解のパラメータの自由度は、Cを定数とするとき、Cτである。
これらのことから、解のパラメータτは、固有時に対応すると考えることができる。
定数Cは、固有時の単位を決める。
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さて、τが固有時なら、それを具体的な式で表せないだろうか？
この問題は、幸運にも数学的にうまく解けて、
dτ^2=exp(ζ)G_ijdx^idx^j と表せる。
ここで、ζは（時空理論では）時空ポテンシャルと呼んでいて、路に沿って、A_iを線積分した値である。
(アハラノフボーム効果にも、これが現れるので、その辺りの関係を考えるのも、おもしろいかも)
exp(ζ)G_ij を、固有時を測る計量と見ることができる。
（これを見ると、固有時は、時空ポテンシャルの影響を受けることになる）
５）
前回では、質点の自由落下路を考察して、固有時を測る計量 exp(ζ)G_ij を導いた。
この計量を見ると、路に依存する値 ζ が含まれていて、４次元空間上の関数にはならない。
（ζは、時空理論では時空ポテンシャルと呼んでいて、路に沿って A_iを線積分した値であり、
広い意味の重力ポテンシャルになる。）
そこで、ちょっと工夫して、５番目の座標 x^0 を導入し、時空を５次元化 (x^0,x^1,x^2,x^3,x^4) する。
そして、座標x^0にζを当てる。
こうすれば、
exp(ζ)G_ijは、５次元空間(x^0,x^1,x^2,x^3,x^4)上の関数となる。詳しく書くと、
exp(x^0)G_ij(x^1,x^2,x^3,x^4)
しかし、このままでは、５次元空間上の計量とするには、不満足である。
なぜなら、これは５行５列の逆行列を持たない。
そこで、これをうまく自然な流れで拡張すると、 添え字も５元 a,b にして、
exp(x^0)G_ab(x^1,x^2,x^3,x^4)+A_aA_b ...a,b=0,1,2,3,4
となる。
実は、この計量は Kaluza の計量と瓜２つである。Kaluza計量は、
G_ab(x^1,x^2,x^3,x^4)+A_aA_b ...a,b=0,1,2,3,4
となっている。
Kaluza計量からは、変分原理によって、重力場と電磁場の２つの方程式が、同時に出てくる。
従って、ここでもそれが期待できる。
これは大きな成果である。（と最初は思った）
Kaluzaは、この計量を何の脈絡もなく、単なる思いつきで導入したが、
時空理論は、これを公理より演繹的に導いた。
ここには、アリとゾウほどの違いがあるだろう。
詳細は、僕のHPか、または下記で。
http://myopenarchive.org/people/japan_miroku
http://watanabe-japan-miroku.jimdo.com/プロフィール/
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