|
|
今度は「可算選択公理の根拠」に引き続いて「置換公理の根拠」について閃きました。
これも突然ひらめいただけなので妄想の可能性があります（笑）。
その根拠というのは、再帰的集合論の再帰的集合論を考えることによって置換公理（というより実はそれより若干強い公理）モドキとして、任意の τ' 項 a に対して
(*) ∀_τ' x∈a ∃_τ' y R(x,y) ⇒ ∃_τ" b ∀_τ" x∈"a ∃_τ" y∈"b R"(x,y)
が成り立つ、というものです。これは、⇒ の左辺が成り立ったところで再帰的集合論の再帰的集合論を取ると、右辺が成り立つ、という形になっていますが、a∈"b ≡ a∈b ∨ a∈'b と置き、Set"≡Set∨Set' と書いて、τ'≡τ∨Set と τ"≡τ'∨Set' から τ" ⇔ τ∨Set" に注意すれば、(*) の左辺までの証明文の中のすべての命題の ' を一斉に " に書き換えるとやはり証明文になるので、この(*) の前後で上記の推論が置換公理になるわけです。
まあ、何のこっちゃかわからないと思いますが、これは単なる自分用のメモですから、正式にはblogでいつか解説したいと思っています。
P.S. 例によって途中で妄想であると発覚したらお笑いですが、まあそのときはそのときということで。
|
|