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よろしくお願い致します。
L^+(a,b):={f∈Map((a,b),R∪{±∞});fは定義関数列を持つ}
即ち
L^+(a,b):={g∈Map((a,b),R∪{±∞});{{f_n};{f_n}は区間(a,b)での単調増加な単関数列,
f_n≦g(有限個の点を除いて),∫[a..b]f_n(x)dx≦M<∞,
∃Zは零集合such that xがZの元でない⇒g(x)∈R,lim[n→∞]f_n(x)=g(x)}≠φ}
と定義する。その時,
[定理] f_n∈L^+(a,b), {f_n}は単調増加関数列で∫[a..b]f_ndx≦M<∞⇒{f_n}はa.e.で収束する。
[証]
{s_n}をf_nの定義関数列とすると
∫[a..b]f_n(x)dx=lim[n→∞]∫[a..b]s_n(x)dx(∵f:(a,b)→R∪{±∞}の区間(a,b)におけるルベーグ積分の定義)
と書ける。
仮定より,lim[n→∞]∫[a..b]s_n(x)dx≦Mと言え,
から先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?
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