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質問があるのでお答えください。
Z=x^4+y^4-(x-y)^2という関数の極値を求めたいのです。
（ｆをxについて偏微分したもの）=0、（ｆをyについて偏微分したもの）=0より
（ｘ、ｙ）=（-1，1）、（0，0）、（1，-1）
更に（ｆをｘについて２回偏微分したもの）=12ｘ＾2-2
（ｆをｘについて、そしてｙについて偏微分したもの）=2
（ｆをｙについて２回偏微分したもの）=12ｙ＾2-2
からΔ=4-4（6ｘ＾2-1）（6ｙ＾2-1）
・ ・・（ｘ、ｙ）=（-1，1）、（1，-1）において極小値-2をとることは分かりました。
しかし・・・（ｘ、ｙ）=（0，0）における極値判定方法は先ほどの２点とは異なるものを用いるしかないようなのですが・・・それが分かりません。
ｘ=0+α、ｙ=0+βとおいて、（α、β）→（0、0）としF=ｆ（ｘ、ｙ）-0の符号を調べたのですが上手くいきませんでした。ヘッセ行列でも駄目でした・・・。
そこで、アドバイスを頂いたのですがそれを理解するのに手こずっています。
アドバイス↓
f(x+εcosθ,y+εsinθ)-f(x,y)をεの二次（以上）まで評価します。
どのようなθに対しても増加（減少）するなら、そこは極小（極大）と判断できます。
ある方向に対しては増加、別の方向に対しては減少、というようなことが確認できた場合には、極値ではないと判断できます。
従って、幾つかの適当なθについて、挙動を調べてみて、一つでも他と異なる動きを
するものがあれば、極値でないと言えます。
具体的にはθ=0、π/2、±π/4等で調べてみることです。
（これは、平面y=constやx=const、あるいはy=±x等で切断したことに相当します。）
この問題の場合は、θ=0やπ/2の時は、極大っぽい動きをしていますが、
θ=π/4では、極小っぽい動きをしていることが判るはずです。
(つまり、(0,0)は、極値ではないと判断できます。)
あるいは、この問題の場合、x→X+Y、y→X-Yと変数変換して(z軸周りにπ/4回転させ、拡大に対応)、X方向、Y方向からの接近の仕方で極値ではないと判断できるでしょう
以上です。
詳しく解説して頂けたら、本当に助かります。
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