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下記の問題についての質問です。
[問]∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するようにpとqの値を定めよ。
x:=e^tと置いて
dx=e^tdt
x→0⇒t→-∞
x→1/2⇒t→ln(1/2)
だから
∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[-∞〜ln(1/2)]e^(pt)|t|^qdt
p=q=0の場合は∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0〜1/2]dxで収束?
単純すぎますかね。
p=0,q>0の場合は∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0〜1/2]|ln(x)|^qdxとなり,
x→0の時,|ln(x)|^q→∞。
然し,∫[0〜1/2]|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。
p=0,q<0の場合は∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0〜1/2]|ln(x)|^qdxとなり,
x→0の時,|ln(x)|^q→0。
然し,∫[0〜1/2]|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
p>0,q=0の場合は∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0〜1/2]x^pdxとなり,
x→0の時,x^p→0。
然し,∫[0〜1/2]x^pdxが収束するかは不明。
p<0,q=0の場合は∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdx=∫[0〜1/2]x^pdxとなり,
x→0の時,x^p→∞。
然し,∫[0〜1/2]x^pdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。
p,q<0の場合はx→0の時,|ln(x)|^q→0の方がx^p→∞より早いので0。
然し,∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
p<0,q>0の場合はx→0の時,x^p→∞,|ln(x)|^q→∞なのでx^p|ln(x)|^q→∞
然し,∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。
p>0,q<0の場合はx→0の時,x^p→0,|ln(x)|^q→0なのでx^p|ln(x)|^q→0
然し,∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
p,q>0の場合はx→0の時,|ln(x)|^q→∞の方がx^p→0より早いので∞。
然し,∫[0〜1/2]x^p|ln(x)|^qdxが収束するかは不明。
でもグラフは右上に上昇していくのできっと発散。
> 多項式よりも log の方が「早く」∞になるという着眼はよいです。
> それを積分の評
> 価に組込めば結果を得ます。
上記のように予想しましたがどうやって断定すればいいのでしょうか?
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