数理科学なんでも掲示板

全583件の内、新着の記事から30件ずつ表示します。

fがpで極限を持つなら|f(x)|≦M

投稿者：miwa 投稿日：2007年11月11日(日)03時12分42秒

宜しくお願い致します。 [Q]Suppose E⊂R,p is a limit point of E,and f:E→R.Prove that if f has a limit at p,then there exists a positive constant M and a δ>0,such that |f(x)|≦M for all x∈E,0<|x-p|<δ. 『[問]E⊂R:実数体とせよ。pをEのある集積点とし、f:E→Rとする。もし、fがpで極限を持つなら ∀x∈E,0<|x-p|<δに対して,|f(x)|≦Mとなるような正の定数Mとδ>0が存在する事を示せ』という問題なのですがこれはどうやって示せばいいのでしょうか? 「f が p で極限を持つ（f has a limit at p）」の定義は「∃L∈R; 0<∀ε∈R,0<∃δ∈R such that |x-p|<δ⇒|f(x)-L|<ε」です。まず、仮定から0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-p|<δ(x∈E)⇒|f(x)-L|<ε…① と書けるから |f(x)|=|f(x)-L+L|≦|f(x)-L|+|L|<ε+|L|(∵①) なのですがεは色々な値をとる変数ですよね。ですからM:=ε+|L|とは置けませんよね。これはどのように証明すればいいのでしょうか?

構成的順序数

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年11月 9日(金)06時28分46秒

編集済

　「数学の基礎」付録７の「構成的順序数と超限帰納法」の冒頭部分の記述を改めました。　今までは、構成的順序数を、文字列として（すなわち超数学の概念として）定義していましたが、Peano算術の中の概念として定義し直しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/basic_a7.htm

超伝導体

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年10月26日(金)06時18分58秒

編集済

「電磁気学」の超伝導体に関するMeissner効果の証明に、場が定常でない場合を追加しました。　ちなみに海外のサイトでMeissner効果の証明として、△B = λ^-2 B から B = 0 を導くのに、「ところで一般に △ B = 0 だから B = 0 となる」というような記述を見つけましたが、これは証明として誤りだと思います。なぜなら、そんな証明が成り立つなら、△ B = - λ^-2 B の形の方程式が成り立つ場合でも B = 0 が言えてしまうはずですが、これは、超伝導体でない一般の媒体内でソースが存在しない場合の通常の波動方程式を時間についてフーリエ変換すれば出てくる式なので、どんな媒体中にも電磁波は存在しないということになってしまうからです。　実際は、△ B = 0 という式は「磁場のソースとなる電流が存在しない場合の式」です。超伝導体内に電流が存在しないこと自体、まさに証明したいことがらの一つなんですから、これでは循環論法です。　△B = λ^-2 B から B = 0 が言える（厳密には、ほとんどゼロとなる）というのは数学的に決して自明な事実ではありません。　しかし、この事実に関するまともな解説でも、境界近くで指数関数的に減少することが解説してあるだけで、超伝導体の境界から十分離れた点でも磁界がゼロに近いことを証明している本やサイトを見たことがありません。 P.S. なお、今までの、「超伝導体の境界近くの条件を変更すれば、内部で J と B は“完全に”ゼロになる」という事実の証明は、演習問題６の (3) に移動させました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell11.htm

Re:miwaさんへ

投稿者：miwa 投稿日：2007年10月21日(日)23時15分6秒

御回答有難うございます。 Kerに入っている二つのベクトルa,bに直行するベクトルを一つ求めます。この場合、c=(1,-1,0)が挙げられます。したがって、このcを表現行列とする線形写像f(x)=c・x　(標準内積)で定義すれば y(x1)=y(x2)=0で題意を満たす線形写像が出来上がります。という具合ですね。どうもお陰様で助かりました。

超伝導体

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年10月21日(日)08時28分44秒

「電磁気学」の超伝導体に関するMeissner効果の証明を修正しました（これにあわせて演習の問６も変更しました）。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell11.htm

miwaさんへ

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年10月21日(日)08時26分11秒

ご返事が遅くなりました。 y が一つの解だとすると、その定数倍はすべて解ですから、u=0,s=-t を満たすすべてのベクトル (s,t,u)(s,t,u∈F) は実際に解になります。

y(1,1,1)=y(1,1,-1)=0であるようなC^3上の線形汎写像yを定義せよ。

投稿者：miwa 投稿日：2007年10月19日(金)02時42分21秒

[問]Define a non-zero linear functional y on C^3 such that if x1=(1,1,1) and x2=(1,1,-1),then y(x1)=y(x2)=0. という問題を解いています。これはキチンと題意を書くと yはC^3はF=C(or R)上の線形空間で C(or R)もF上の線形空間になっている。そこでC^3からFへの線形写像yについて y(1,1,1)=y(1,1,-1)=0の時、 ∀x∈C^3,y(x)≠0であるような線形写像(no-zeroな線形写像)yを明示せよ。という問題だと思います。 yの表現行列を(s,t,u)(s,t,u∈F)とすると y(1,1,1)=y(1,1,-1)=0から s+t+u=0, s+t-u=0 と書けると思います。でもこれからだけでは u=0,s=-t しか得られません。これはどのようにして解けばいいのでしょうか?

ありがとうございます！

投稿者：cygnus 投稿日：2007年10月15日(月)00時12分57秒

ご丁寧なお返事、ありがとうございます。大変参考になりました。僕もド素人ながら直観主義論理や構成主義数学をがんばってネット検索してみたのですが、全然日本語のページがないので不安でした。大学院も北陸先端だけしかヒットしませんし…。日本だけでなく海外でもあまり盛んではないということなのでしょうか。こんなに明快な体系なのにもったいなく思います。僕は高校の時から、背理法を用いた証明に気持ち悪さを感じていました。背理法なんて使わずに、せめて対偶を示す方法のみで証明ができないか？というテーマに勝手に挑んだりしている変な高校生だったのです。その中で数学基礎論やブラウアーの直観主義・ポアンカレの約束主義を本（とはいっても、哲学事典なのですが…）で読んだりして、大変興味を持ったこともありました。数学だけをガリガリやる気にもなれず物理学科にいきましたが、かといって物理学科での乱雑な数学？には4年生になっていよいよ拒否反応（笑）が出てき始めました。ここら辺で割り切って学問は趣味としてたしなむ程度にして就職するか、あきらめずにやりたいことを追究していくか、どっちつかずで悩んでいたりします。そんな僕にとって、このサイトの内容はとても大きなヒントを与えてくれています。がんばって勉強させていただきます。今後ともよろしくお願いいたします。

Re:直感主義論理の基礎など

投稿者：karaokegurui 投稿日：2007年10月14日(日)11時22分9秒

Stromdorfさん、ご無沙汰しています。＞直観主義の立場から言わせてもらえば話は逆で、むしろ排中律を仮定すると、本来異なるはずの概念が区別が付かなくなってしまって不便だ、ということになります私も、以前述語論理のレベルで古典論理で同値になる簡単な命題が直観主義ではそうならない例をいくつも並べてみて、直観主義の方がきめ細かいという印象をもちました。素人ながら思うに、「数学プラトニズム」だと見えなくなる違いのようなものが結構あるのではないでしょうかね。

直観主義論理の基礎など

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年10月14日(日)08時30分20秒

編集済

　直観主義を初めて世に出したのはブラウアーで、その考え方を具体的に形式体系として示したのは Heyting ですが、ブラウアーの主張があまりに特異だったため、Hilbertらに批判され、主流にならなかったのはよく知られる事実です。　この直観主義論理を、通常の古典論理と対等にその意義を知らしめたのは、なんと言ってもゲーデルと並び称される天才論理学者のゲンツェンでしょう。　ゲンツェンは、それまでの形式論理学が、理論は厳密ながら、その公理や推論規則が「なぜそんなゴチャゴチャした公理や推論規則を仮定するの？」と思われるくらい、形式上の規則性も何もあったものじゃないわけのわからない体系だったものを、彼の天才的な発明である(NK)及び(NJ)とよばれる「自然推論」の体系と、その発展形である(LK)及び(LJ)とよばれる「sequent計算」によって見事に整理しました。　特に後者のsequent計算については、有名な「カットの消去定理」あるいは「ゲンツェンの基本定理」とよばれる美しい定理（私の「数学の基礎」付録３で紹介しているもの）を発表し、さらに、数学的帰納法をこの体系で表現することにより「自然数論の無矛盾性」を証明しました。　これだけでも彼の天才ぶりは驚くべきですが、残念なことに彼は35才の若さで亡くなってしまいました。↓ http://en.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen 　全く惜しい天才をなくしたものです。彼がそのまま生きていたら、ゲーデルのように様々な衝撃的な成果を次々に発表したのではないかと悔やまれます。　さて、ゲンツェンの「sequent計算」の方は、その手法を駆使して様々な論理学の成果を生んできたわけですが、私見では「自然推論」の方が論理学の意味の基礎付けとしては重要な役割を果たしていると思っています。　論理学というと、普通は「構文論（syntax）」と「意味論（semantics）」に別れ、前者は論理式を意味を考えない単なる記号の列とみなして、その記号列の操作として論理学を研究すること、後者は真偽値の概念と解釈と呼ばれる論理式から真偽値への写像について数学的な性質を研究する、という２つの内容に分けて考えます。　しかし、直観主義論理というのは、どうもこのような分類で考えるのは本質を捉えていないようで、特に「意味論」の方は、真偽値による「意味」よりも、構文論に近い意味論とでもいうべき「証明論的意味論」の考え方↓ http://en.wikipedia.org/wiki/Proof-theoretic_semantics の方が本質を突いていると思います。この証明論的意味論のきっかけとなったのがゲンツェンの自然推論です。この証明論的意味論については、type theory ↓ http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_type_theory を発明したマルチン・レーフが最も有名ですが、これまた私見ですが、どうもこの type theory による構成主義数学というのは、気持ちはよくわかるんですが、そこで仮定している公理の構文論的に見た根拠がよくわからないんで個人的にはしっくり来ません。（なお、直観主義論理のコンピューター科学との関連について、カリー・ハワード対応というものもあります。）　それで反旗を翻して、構文論的な根拠が自然に説明できる体系は無いものか、ということでいろいろ知恵を絞った結果考えたのが、私のサイトのような内容（「形式化の原理」と名付けたもの）なんですが、そこはシロウトの浅知恵でいろいろな不備があるかもしれません。この点は、むしろ他の専門家の方のご意見を戴きたいと思っているところです。

cygnusさんへ

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年10月14日(日)07時49分57秒

編集済

　どうも、私のサイトに注目していただきましてありがとうございます。なにせ、読む人への配慮に欠ける自己満足的なサイトなので、理解しにくいところが多いのではないかと思います。　さて、私が初めて直観主義論理のもとで実際に（自明でない）数学が展開できることを知ったのは、Erret Bishop の Foundations of Constructive Analysis という本と、その中の構成的ルベーグ積分論を更に発展整理したH.Chenとの共著 Constructive Measure Theory です。　構成的数学についてどのようなものであるかを知るには、いずれも英語のサイトですが、著者の Bishop については↓ http://en.wikipedia.org/wiki/Errett_Bishop に、構成的数学については↓ http://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(mathematics) に詳しい解説が載っています。なお、構成的数学に関する入門書としては、専門家の意見によると、Troelstra のConstructivism in Mathematics という本↓ http://www.amazon.co.jp/Constructivism-Mathematics-S-Troelstra/dp/0444705066 が殆ど唯一の教科書なんだそうです（値段も高いので私はまだ読んでいません）。　また、私のサイトの「数学の基礎」のガチガチな形式主義による記述は、有名な Bourbaki の集合論の記述体系を真似たものですが、Bourbakiそのものはもちろん直観主義ではなく、通常の古典論理による数学が展開されています。なお、Bourbaki自身は直観主義数学に対して批判的で、彼らに言わせると、直観主義論理では排中律が無いことにより、一つの概念が複数の概念に分裂してしまうので不便極まりないということのようですが、直観主義の立場から言わせてもらえば話は逆で、むしろ排中律を仮定すると、本来異なるはずの概念が区別が付かなくなってしまって不便だ、ということになります（要は、ものの見方にはいろいろあるということであり、Bourbakiの見方もちょっと了見が狭いと思いますが…）。　日本（に限らないでしょうが）の数学の専門家には、数学プラトニズム（つまり古典論理による通常の数学的対象に実在感を持っている、あるいは数学的対象でできた世界に“住んでいる”と言った方がいいかも）の人が多く、日本語で書かれた直観主義や構成主義のいい本は（私の不勉強もあるのでしょうが）知りません。　ただ、日本でも北陸先端科学技術大学院大学というところには Bishop 流の構成主義数学を研究している人がいるようです。↓ http://www.jaist.ac.jp/library/thesis/is-master-1998/abstract/satoru-y/jabstract.pdf

参考書を教えて頂きたいです。

投稿者：cygnus 投稿日：2007年10月12日(金)11時19分40秒

Stromdorfさん、はじめまして。しがない一大学生のcygnusと申します。このサイトで直観主義論理や構成主義数学を知り、その根拠に根ざした立場に共感し、日々少しづつですが学ばせていただいています。僕は物理学科ですので数学の専門的教養はありませんが、自分が納得できるといいきれるモノを学び、できればさらに研究していきたいと思っております。恐縮ではありますが、Stromdorfさんはどのような教科書、または環境でここまですばらしい知識を得られたのでしょうか。もしよろしければお教えいただければ幸いです。

Re:miwaさんへ

投稿者：miwa 投稿日：2007年10月 8日(月)08時58分7秒

レス有難うございます。具体的にはどのように記述していけばいいのでしょうか?

miwaさんへ

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年10月 8日(月)06時11分52秒

各 x_i を次々にある y_j で置き換えてなおかつ一次独立性を保ち続けるようにできる、っていう論法で証明できるはずです。

ベクトル空間V∋y1,y2,…,ym:一次独立,span{x1,x2,…,xn}=V⇒m≦n

投稿者：miwa 投稿日：2007年10月 8日(月)05時37分52秒

宜しくお願い致します。 [問]ベクトル空間V∋y1,y2,…,ym:一次独立,span{x1,x2,…,xn}=V ならば m≦nとなる事を示せ(span{x1,x2,…,xn}はx1,x2,…,xnの一次結合の集合)。という問題なのですがこれはどうやって証明できますでしょうか?

４元数解析は？

投稿者：４次元からの使者投稿日：2007年10月 3日(水)10時33分20秒

はじめまして。数学に詳しい方、どなたか教えてください。複素解析のように、４元数による解析学は可能でしょうか？また、４元解析といえるようなものが、あるのでしょうか？

「相ま」記事を書いた方へ

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 9月22日(土)08時19分22秒

　記事は削除させていただきました。　そういう記事は↓の「議論・討論用掲示板」の方へお願いします。

http://8110.teacup.com/stromdorf/bbs

電磁気学の修正

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 9月22日(土)02時23分42秒

第12節の「回路とKirchhoffの法則」を修正しました。今までは、回路の素子の太さをゼロとする近似で解説していましたが、自己インダクタンスが発散してしまう問題を数学的にゴマカしていたのが気に入らなくなったので、太さを持つ素子に関する説明に変更しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell12.htm

電磁気学の演習問８

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 9月 8日(土)02時47分48秒

編集済

表題の「多重極展開」を本文に移しました。まず、第９節「Maxwell方程式の積分型」と第10節「電磁誘導の法則」が一連のものであることから、これらを一緒にして新たな第10節「積分表示の基礎方程式」に作り変え、空いた第９節に演習問題の問８を移籍したものです。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell09.htm

電磁気学の追加

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 9月 4日(火)00時52分25秒

「電磁気学」本文の第13節に電気二重層の解説を追加しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell13.htm

電磁気学の追加

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 9月 1日(土)02時54分36秒

「電磁気学」本文の第11節の後半に、London方程式から超伝導体の内部で磁束密度がゼロになる現象（Meissner効果）の解析的な導出を解説しました。　通常は △B = λB から B が指数関数的に減少し、従って超伝導体の表面近くにしか存在しないことを導くのですが、これでは「B が完全にゼロになる」ことが示せていませんし、何よりも綺麗でないのですが、J×B の発散を積分するといううまい方法により綺麗に導出することに成功しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell11.htm

電磁気学の演習問10

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 8月25日(土)15時35分58秒

編集済

　表題の問題である「チェレンコフ輻射」を本文の第７節の中に移し、演習問10を削除しました。　これは等速直線運動する荷電粒子の作る電磁場という「特殊ケース」の理論ではありますが、その重要性から考えて、やはり本文マターだろうと思ったからです。　この外にも、例えば多重極展開なども本文マターだと思うので、そのうち本文に取り込む予定です。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell07.htm

書名覚え書き

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 8月22日(水)07時46分37秒

坂井典佑著『場の量子論』

電磁気学の演習問１

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 8月15日(水)07時39分49秒

表題について、新しい問題に置き換えました。内容は「電磁気学」の「解説版１」の内容を演習化したものです。ということは… そうなんです！今度は解説版を全面的に書き換えるつもりなんです。解説版も紆余曲折やってますが、いくら初等的に書き直しても所詮数式だらけで通常の電磁気学解説の猿真似に過ぎないので、「数学の基礎」の解説版のように、本文の“日本語”による解説に徹したいと思っています。

HPの修正

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 8月11日(土)08時45分40秒

編集済

　物理の「電磁気学」本文の最後に、付録として「電磁気学の単位系」を追加しました。　これはもともと「電磁気学」本文の演習の第１問として書いていた内容を、このような一般論を演習としておくのは自分で決めた演習の位置づけと合わないことから本文化したものです。それに伴って、各単位系間の変換公式も掲載するなど内容も拡充しました。　なお、演習については不要になった第１問も含めてどうするか現在思案中です。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell_a.htm

Re:関数論

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 7月 5日(木)23時48分10秒

レビさん、いらっしゃいませ。 ξ＝e^(iz) と置けば、ξの２次方程式になりますね。

関数論

投稿者：レビ投稿日：2007年 7月 5日(木)18時33分58秒

こんにちは cosz=5 上の方程式を解きその解を図示せよという問題なんですが解けなくて困ってます cosz=1/2(e^(iz)+1/e^(iz) これでz=x+iyを使い e^(-y)e^(ix)=1/e^(y)(cosx+isinx)=5+2√6 ここで完全につまってしまいました本当にこれであってるんでしょうか？図示ってそのようにやればいいんでしょうか？

Mathematica式の挿入について

投稿者：H.M 投稿日：2007年 6月24日(日)01時11分18秒

こんにちは、下記のように、ｙを微分して得られる解をまたｙに代入したいのですが y = (2/5)*(1 - x)*a^2 - (4/105)*(1 + 2*x)*a^3; y /. a -> Solve[D[y, a] == 0, a][[2]] と計算してもうまく計算できません。どうしたら良いでしょうか？要するに、下記にように Simplify[y /. a -> -((7*(-1 + x))/(1 + 2*x))] 計算して -((98*(-1 + x)^3)/(15*(1 + 2*x)^2)) を得たいのです。

「電磁気学」の解説版

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 6月23日(土)02時07分35秒

やっとPAGE2まで完成しました。次からはいよいよ誘電体と磁性体についての議論です。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell_com2.htm

「電磁気学」本文に追加

投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2007年 6月22日(金)00時24分26秒

編集済

静電磁界の最小エネルギーの原理として、D や H に注目するのではなく、ポテンシャル φ や A に注目した最小エネルギーの原理の解説を各節の最後に追加しました。 http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell16.htm http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell19.htm

以上は、新着順121番目から150番目までの記事です。

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構成的順序数

超伝導体

Re:miwaさんへ

超伝導体

miwaさんへ

y(1,1,1)=y(1,1,-1)=0であるようなC^3上の線形汎写像yを定義せよ。

ありがとうございます！

Re:直感主義論理の基礎など

直観主義論理の基礎など

cygnusさんへ

参考書を教えて頂きたいです。

Re:miwaさんへ

miwaさんへ

ベクトル空間V∋y1,y2,…,ym:一次独立,span{x1,x2,…,xn}=V⇒m≦n

４元数解析は？

「相ま」記事を書いた方へ

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