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R線形空間Vに対し,下記を満たすf:V×V→Rなる写像fが採れる時,
そのfを内積と言い,Rをfによる内積空間と言う(Rは実数体)。
(i) f(x,x)≧0;f(x,x)=0⇔x=0
(ii) f(x,y)=f(y,x)
(iii) f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z)
(iv) f(rx,y)=rf(x,y) (r∈R)
が内積空間の定義だと思います。
これをより一般に定義拡張したいのですがその場合
体F上の線形空間Vに対し,下記を満たすh:V×V→O(Oは全順序環)及びk:F×O→Oなる写像h,kが採れる時,
そのhを内積と言い,Vをh,kによる内積空間と言う。
x,y,z∈V,f∈F
(i) P(h(x,x),0_O)=true ;h(x,x)=0_O⇔x=0_V
(PはOの順序関係,0_O,0_Vは夫々O,Vの零元)
(ii) h(x,y)=h(y,x)
(iii) h(x+y,z)=h(x,z)+h(y,z)
(iv) h(fx,y)=k(f,h(x,y))
で正しいでしょうか?
また、これから更に定義の拡張は可能でしょうか?
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